伸展树(Splay Tree)是特殊的二叉查找树。它的特殊是指，它除了本身是棵二叉查找树之外，它还具备一个特点: 当某个节点被访问时，伸展树会通过旋转使该节点成为树根。这样做的好处是，下次要访问该节点时，能够迅速的访问到该节点。

Java数据结构与算法解析(八)——伸展树 Java数据结构与算法解析(八)——伸展树（java 树 数据结构） Java 数据结构 算法解析 第1张

伸展树简介

伸展树(Splay Tree)是特殊的二叉查找树。

它的特殊是指，它除了本身是棵二叉查找树之外，它还具备一个特点: 当某个节点被访问时，伸展树会通过旋转使该节点成为树根。这样做的好处是，下次要访问该节点时，能够迅速的访问到该节点。

特性

  1. 和普通的二叉查找树相比，具有任何情况下、任何操作的平摊O(log2n)的复杂度，时间性能上更好
  2. 和一般的平衡二叉树比如 红黑树、AVL树相比，维护更少的节点额外信息，空间性能更优，同时编程复杂度更低
  3. 在很多情况下，对于查找操作，后面的查询和之前的查询有很大的相关性。这样每次查询操作将被查到的节点旋转到树的根节点位置，这样下次查询操作可以很快的完成
  4. 可以完成对区间的查询、修改、删除等操作，可以实现线段树和树状数组的所有功能

旋转

伸展树实现O(log2n)量级的平摊复杂度依靠每次对伸展树进行查询、修改、删除操作之后，都进行旋转操作 Splay(x, root)，该操作将节点x旋转到树的根部。

伸展树的旋转有六种类型，如果去掉镜像的重复，则为三种：zig(zag)、zig-zig(zag-zag)、zig-zag(zag-zig)。

1 自底向上的方式进行旋转

1.1 zig旋转

Java数据结构与算法解析(八)——伸展树（java 树 数据结构） Java 数据结构 算法解析 第2张

如图所示，x节点的父节点为y，x为y的左子节点，且y节点为根。则只需要对x节点进行一次右旋(zig操作)，使之成为y的父节点，就可以使x成为伸展树的根节点。

1.2 zig-zig旋转

Java数据结构与算法解析(八)——伸展树（java 树 数据结构） Java 数据结构 算法解析 第3张

如上图所示，x节点的父节点y，y的父节点z，三者在一字型链上。此时，先对y节点和z节点进行zig旋转，然后再对x节点和y节点进行zig旋转，最后变为右图所示，x成为y和z的祖先节点。

1.3 zig-zag旋转

Java数据结构与算法解析(八)——伸展树（java 树 数据结构） Java 数据结构 算法解析 第4张

如上图所示，x节点的父节点y，y的父节点z，三者在之字型链上。此时，先对x节点和y节点进行zig旋转，然后再对x节点和y节点进行zag旋转，最后变为右图所示，x成为y和z的祖先节点。

2 自顶向下的方式进行旋转

这种方式不需要节点存储其父节点的引用。当我们沿着树向下搜索某个节点x时，将搜索路径上的节点及其子树移走。构建两棵临时的树——左树和右树。没有被移走的节点构成的树称为中树。

  1. 当前节点x是中树的根
  2. 左树L保存小于x的节点
  3. 右树R保存大于x的节点

开始时候，x是树T的根，左树L和右树R都为空。三种旋转操作：

2.1 zig旋转

Java数据结构与算法解析(八)——伸展树（java 树 数据结构） Java 数据结构 算法解析 第5张

如图所示，x节点的子节点y就是我们要找的节点，则只需要对y节点进行一次右旋(zig操作)，使之成为x的父节点，就可以使y成为伸展树的根节点。将y作为中树的根，同时，x节点移动到右树R中，显然右树上的节点都大于所要查找的节点。

2.2 zig-zig旋转

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如上图所示，x节点的左子节点y，y的左子节点z，三者在一字型链上，且要查找的节点位于z节点为根的子树中。此时，对x节点和y节点进行zig，然后对z和y进行zig，使z成为中树的根，同时将y及其子树挂载到右树R上。

2.3 zig-zag旋转

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如上图所示，x节点的左子节点y，y的右子节点z，三者在之字型链上，且需要查找的元素位于以z为根的子树上。此时，先对x节点和y节点进行zig旋转，将x及其右子树挂载到右树R上，此时y成为中树的根节点;然后再对z节点和y节点进行zag旋转，使得z成为中树的根节点。

2.4 合并

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最后，找到节点或者遇到空节点之后，需要对左、中、右树进行合并。如图所示，将左树挂载到中树的最左下方(满足遍历顺序要求)，将右树挂载到中树的最右下方(满足遍历顺序要求)。

伸展树的实现

1.节点

  1. publicclassSplayTree<TextendsComparable<T>>{
  2. privateSplayTreeNode<T>mRoot;//根结点
  4. publicclassSplayTreeNode<TextendsComparable<T>>{
  5. Tkey;//关键字(键值)
  6. SplayTreeNode<T>left;//左孩子
  7. SplayTreeNode<T>right;//右孩子
  9. publicSplayTreeNode(){
  10. this.left=null;
  11. this.right=null;
  12. }
  14. publicSplayTreeNode(Tkey,SplayTreeNode<T>left,SplayTreeNode<T>right){
  15. this.key=key;
  16. this.left=left;
  17. this.right=right;
  18. }
  19. }
  20. }

SplayTree是伸展树，而SplayTreeNode是伸展树节点。在此，我将SplayTreeNode定义为SplayTree的内部类。在伸展树SplayTree中包含了伸展树的根节点mRoot。SplayTreeNode包括的几个组成元素:

  1. key – 是关键字，是用来对伸展树的节点进行排序的。
  2. left – 是左孩子。
  3. right – 是右孩子。

2.旋转

  1. /*
  2. *旋转key对应的节点为根节点，并返回根节点。
  3. *
  4. *注意：
  5. *(a)：伸展树中存在"键值为key的节点"。
  6. *将"键值为key的节点"旋转为根节点。
  7. *(b)：伸展树中不存在"键值为key的节点"，并且key<tree.key。
  8. *b-1"键值为key的节点"的前驱节点存在的话，将"键值为key的节点"的前驱节点旋转为根节点。
  9. *b-2"键值为key的节点"的前驱节点存在的话，则意味着，key比树中任何键值都小，那么此时，将最小节点旋转为根节点。
  10. *(c)：伸展树中不存在"键值为key的节点"，并且key>tree.key。
  11. *c-1"键值为key的节点"的后继节点存在的话，将"键值为key的节点"的后继节点旋转为根节点。
  12. *c-2"键值为key的节点"的后继节点不存在的话，则意味着，key比树中任何键值都大，那么此时，将最大节点旋转为根节点。
  13. */
  14. privateSplayTreeNode<T>splay(SplayTreeNode<T>tree,Tkey){
  15. if(tree==null)
  16. returntree;
  18. SplayTreeNode<T>N=newSplayTreeNode<T>();
  19. SplayTreeNode<T>l=N;
  20. SplayTreeNode<T>r=N;
  21. SplayTreeNode<T>c;
  23. for(;;){
  24. intcmp=key.compareTo(tree.key);
  25. if(cmp<0){
  26. if(key.compareTo(tree.left.key)<0){
  27. c=tree.left;/*rotateright*/
  28. tree.left=c.right;
  29. c.right=tree;
  30. tree=c;
  31. if(tree.left==null)
  32. break;
  33. }
  34. r.left=tree;/*linkright*/
  35. r=tree;
  36. tree=tree.left;
  37. }elseif(cmp>0){
  39. if(tree.right==null)
  40. break;
  42. if(key.compareTo(tree.right.key)>0){
  43. c=tree.right;/*rotateleft*/
  44. tree.right=c.left;
  45. c.left=tree;
  46. tree=c;
  47. if(tree.right==null)
  48. break;
  49. }
  51. l.right=tree;/*linkleft*/
  52. l=tree;
  53. tree=tree.right;
  54. }else{
  55. break;
  56. }
  57. }
  58. l.right=tree.left;/*assemble*/
  59. r.left=tree.right;
  60. tree.left=N.right;
  61. tree.right=N.left;
  63. returntree;
  64. }
  66. publicvoidsplay(Tkey){
  67. mRoot=splay(mRoot,key);
  68. }

上面的代码的作用：将”键值为key的节点”旋转为根节点，并返回根节点。它的处理情况共包括：

(a)：伸展树中存在”键值为key的节点”。

将”键值为key的节点”旋转为根节点。

(b)：伸展树中不存在”键值为key的节点”，并且key < tree->key。

b-1) “键值为key的节点”的前驱节点存在的话，将”键值为key的节点”的前驱节点旋转为根节点。

b-2) “键值为key的节点”的前驱节点存在的话，则意味着，key比树中任何键值都小，那么此时，将最小节点旋转为根节点。

(c)：伸展树中不存在”键值为key的节点”，并且key > tree->key。

c-1) “键值为key的节点”的后继节点存在的话，将”键值为key的节点”的后继节点旋转为根节点。

c-2) “键值为key的节点”的后继节点不存在的话，则意味着，key比树中任何键值都大，那么此时，将最大节点旋转为根节点。

下面列举个例子分别对a进行说明。

在下面的伸展树中查找10，，共包括”右旋” –> “右链接” –> “组合”这3步。

Java数据结构与算法解析(八)——伸展树（java 树 数据结构） Java 数据结构 算法解析 第9张

01, 右旋

对应代码中的”rotate right”部分

Java数据结构与算法解析(八)——伸展树（java 树 数据结构） Java 数据结构 算法解析 第10张

02, 右链接

对应代码中的”link right”部分

Java数据结构与算法解析(八)——伸展树（java 树 数据结构） Java 数据结构 算法解析 第11张

03.组合

对应代码中的”assemble”部分

Java数据结构与算法解析(八)——伸展树（java 树 数据结构） Java 数据结构 算法解析 第12张

提示：如果在上面的伸展树中查找”70”，则正好与”示例1”对称，而对应的操作则分别是”rotate left”, “link left”和”assemble”。

其它的情况，例如”查找15是b-1的情况，查找5是b-2的情况”等等，这些都比较简单，大家可以自己分析。

3.插入

  1. /**
  2. *将结点插入到伸展树中，并返回根节点
  3. *@paramtree伸展树的根节点
  4. *@paramz插入的结点
  5. *@return
  6. */
  7. privateSplayTreeNode<T>insert(SplayTreeNode<T>tree,SplayTreeNode<T>z){
  8. intcmp;
  9. SplayTreeNode<T>y=null;
  10. SplayTreeNode<T>x=tree;
  12. //查找z的插入位置
  13. while(x!=null){
  14. y=x;
  15. cmp=z.key.compareTo(x.key);
  16. if(cmp<0)
  17. x=x.left;
  18. elseif(cmp>0)
  19. x=x.right;
  20. else{
  21. System.out.printf("不允许插入相同节点(%d)!\n",z.key);
  22. z=null;
  23. returntree;
  24. }
  25. }
  27. if(y==null)
  28. tree=z;
  29. else{
  30. cmp=z.key.compareTo(y.key);
  31. if(cmp<0)
  32. y.left=z;
  33. else
  34. y.right=z;
  35. }
  37. returntree;
  38. }
  40. publicvoidinsert(Tkey){
  41. SplayTreeNode<T>z=newSplayTreeNode<T>(key,null,null);
  43. //如果新建结点失败，则返回。
  44. if((z=newSplayTreeNode<T>(key,null,null))==null)
  45. return;
  47. //插入节点
  48. mRoot=insert(mRoot,z);
  49. //将节点(key)旋转为根节点
  50. mRoot=splay(mRoot,key);
  51. }

insert(key)是提供给外部的接口，它的作用是新建节点(节点的键值为key)，并将节点插入到伸展树中;然后，将该节点旋转为根节点。

insert(tree, z)是内部接口，它的作用是将节点z插入到tree中。insert(tree, z)在将z插入到tree中时，仅仅只将tree当作是一棵二叉查找树，而且不允许插入相同节点。

4.删除

  1. /**
  2. *
  3. *@paramtree伸展树
  4. *@paramkey删除的结点
  5. *@return
  6. */
  7. privateSplayTreeNode<T>remove(SplayTreeNode<T>tree,Tkey){
  8. SplayTreeNode<T>x;
  10. if(tree==null)
  11. returnnull;
  13. //查找键值为key的节点，找不到的话直接返回。
  14. if(search(tree,key)==null)
  15. returntree;
  17. //将key对应的节点旋转为根节点。
  18. tree=splay(tree,key);
  20. if(tree.left!=null){
  21. //将"tree的前驱节点"旋转为根节点
  22. x=splay(tree.left,key);
  23. //移除tree节点
  24. x.right=tree.right;
  25. }
  26. else
  27. x=tree.right;
  29. tree=null;
  31. returnx;
  32. }
  34. publicvoidremove(Tkey){
  35. mRoot=remove(mRoot,key);
  36. }

remove(key)是外部接口，remove(tree, key)是内部接口。

remove(tree, key)的作用是：删除伸展树中键值为key的节点。

它会先在伸展树中查找键值为key的节点。若没有找到的话，则直接返回。若找到的话，则将该节点旋转为根节点，然后再删除该节点。

伸展树实现完整代码

  1. publicclassSplayTree<TextendsComparable<T>>{
  2.     privateSplayTreeNode<T>mRoot;//根结点
  4. publicclassSplayTreeNode<TextendsComparable<T>>{
  5. Tkey;//关键字(键值)
  6. SplayTreeNode<T>left;//左孩子
  7. SplayTreeNode<T>right;//右孩子
  9. publicSplayTreeNode(){
  10. this.left=null;
  11. this.right=null;
  12. }
  14. publicSplayTreeNode(Tkey,SplayTreeNode<T>left,SplayTreeNode<T>right){
  15. this.key=key;
  16. this.left=left;
  17. this.right=right;
  18. }
  19. }
  21. /*
  22. *旋转key对应的节点为根节点，并返回根节点。
  23. *
  24. *注意：
  25. *(a)：伸展树中存在"键值为key的节点"。
  26. *将"键值为key的节点"旋转为根节点。
  27. *(b)：伸展树中不存在"键值为key的节点"，并且key<tree.key。
  28. *b-1"键值为key的节点"的前驱节点存在的话，将"键值为key的节点"的前驱节点旋转为根节点。
  29. *b-2"键值为key的节点"的前驱节点存在的话，则意味着，key比树中任何键值都小，那么此时，将最小节点旋转为根节点。
  30. *(c)：伸展树中不存在"键值为key的节点"，并且key>tree.key。
  31. *c-1"键值为key的节点"的后继节点存在的话，将"键值为key的节点"的后继节点旋转为根节点。
  32. *c-2"键值为key的节点"的后继节点不存在的话，则意味着，key比树中任何键值都大，那么此时，将最大节点旋转为根节点。
  33. */
  34. privateSplayTreeNode<T>splay(SplayTreeNode<T>tree,Tkey){
  35. if(tree==null)
  36. returntree;
  38. SplayTreeNode<T>N=newSplayTreeNode<T>();
  39. SplayTreeNode<T>l=N;
  40. SplayTreeNode<T>r=N;
  41. SplayTreeNode<T>c;
  43. for(;;){
  44. intcmp=key.compareTo(tree.key);
  45. if(cmp<0){
  46. if(key.compareTo(tree.left.key)<0){
  47. c=tree.left;/*rotateright*/
  48. tree.left=c.right;
  49. c.right=tree;
  50. tree=c;
  51. if(tree.left==null)
  52. break;
  53. }
  54. r.left=tree;/*linkright*/
  55. r=tree;
  56. tree=tree.left;
  57. }elseif(cmp>0){
  59. if(tree.right==null)
  60. break;
  62. if(key.compareTo(tree.right.key)>0){
  63. c=tree.right;/*rotateleft*/
  64. tree.right=c.left;
  65. c.left=tree;
  66. tree=c;
  67. if(tree.right==null)
  68. break;
  69. }
  71. l.right=tree;/*linkleft*/
  72. l=tree;
  73. tree=tree.right;
  74. }else{
  75. break;
  76. }
  77. }
  78. l.right=tree.left;/*assemble*/
  79. r.left=tree.right;
  80. tree.left=N.right;
  81. tree.right=N.left;
  83. returntree;
  84. }
  86. publicvoidsplay(Tkey){
  87. mRoot=splay(mRoot,key);
  88. }
  92. /**
  93. *将结点插入到伸展树中，并返回根节点
  94. *@paramtree伸展树的根节点
  95. *@paramz插入的结点
  96. *@return
  97. */
  98. privateSplayTreeNode<T>insert(SplayTreeNode<T>tree,SplayTreeNode<T>z){
  99. intcmp;
  100. SplayTreeNode<T>y=null;
  101. SplayTreeNode<T>x=tree;
  103. //查找z的插入位置
  104. while(x!=null){
  105. y=x;
  106. cmp=z.key.compareTo(x.key);
  107. if(cmp<0)
  108. x=x.left;
  109. elseif(cmp>0)
  110. x=x.right;
  111. else{
  112. System.out.printf("不允许插入相同节点(%d)!\n",z.key);
  113. z=null;
  114. returntree;
  115. }
  116. }
  118. if(y==null)
  119. tree=z;
  120. else{
  121. cmp=z.key.compareTo(y.key);
  122. if(cmp<0)
  123. y.left=z;
  124. else
  125. y.right=z;
  126. }
  128. returntree;
  129. }
  131. publicvoidinsert(Tkey){
  132. SplayTreeNode<T>z=newSplayTreeNode<T>(key,null,null);
  134. //如果新建结点失败，则返回。
  135. if((z=newSplayTreeNode<T>(key,null,null))==null)
  136. return;
  138. //插入节点
  139. mRoot=insert(mRoot,z);
  140. //将节点(key)旋转为根节点
  141. mRoot=splay(mRoot,key);
  142. }
  144. /*
  145. *删除结点(z)，并返回被删除的结点
  146. *
  147. *参数说明：
  148. *bst伸展树
  149. *z删除的结点
  150. */
  152. /**
  153. *
  154. *@paramtree伸展树
  155. *@paramkey删除的结点
  156. *@return
  157. */
  158. privateSplayTreeNode<T>remove(SplayTreeNode<T>tree,Tkey){
  159. SplayTreeNode<T>x;
  161. if(tree==null)
  162. returnnull;
  164. //查找键值为key的节点，找不到的话直接返回。
  165. if(search(tree,key)==null)
  166. returntree;
  168. //将key对应的节点旋转为根节点。
  169. tree=splay(tree,key);
  171. if(tree.left!=null){
  172. //将"tree的前驱节点"旋转为根节点
  173. x=splay(tree.left,key);
  174. //移除tree节点
  175. x.right=tree.right;
  176. }
  177. else
  178. x=tree.right;
  180. tree=null;
  182. returnx;
  183. }
  185. publicvoidremove(Tkey){
  186. mRoot=remove(mRoot,key);
  187. }
  189. /*
  190. *(递归实现)查找"伸展树x"中键值为key的节点
  191. */
  192. privateSplayTreeNode<T>search(SplayTreeNode<T>x,Tkey){
  193. if(x==null)
  194. returnx;
  196. intcmp=key.compareTo(x.key);
  197. if(cmp<0)
  198. returnsearch(x.left,key);
  199. elseif(cmp>0)
  200. returnsearch(x.right,key);
  201. else
  202. returnx;
  203. }
  205. publicSplayTreeNode<T>search(Tkey){
  206. returnsearch(mRoot,key);
  207. }
  209. /*
  210. *查找最小结点：返回tree为根结点的伸展树的最小结点。
  211. */
  212. privateSplayTreeNode<T>minimum(SplayTreeNode<T>tree){
  213. if(tree==null)
  214. returnnull;
  216. while(tree.left!=null)
  217. tree=tree.left;
  218. returntree;
  219. }
  221. publicTminimum(){
  222. SplayTreeNode<T>p=minimum(mRoot);
  223. if(p!=null)
  224. returnp.key;
  226. returnnull;
  227. }
  229. /*
  230. *查找最大结点：返回tree为根结点的伸展树的最大结点。
  231. */
  232. privateSplayTreeNode<T>maximum(SplayTreeNode<T>tree){
  233. if(tree==null)
  234. returnnull;
  236. while(tree.right!=null)
  237. tree=tree.right;
  238. returntree;
  239. }
  241. publicTmaximum(){
  242. SplayTreeNode<T>p=maximum(mRoot);
  243. if(p!=null)
  244. returnp.key;
  246. returnnull;
  247. }
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