Java编程内功-数据结构与算法「动态规划算法」（java基本数据结构和算法）-人工智能-知优网

背包问题主要是指一个给定容量的背包、若干具有一定价值和重量的物品，如何选取物品放入背包是物品的价值最大。其中又分01背包和完全背包(完全背包指的是：每种物品都有无限件可用)。

应用场景-背包问题

背包问题：有一个背包，容量为4磅，现有如下物品：

要求达到的目标为装入的背包的总价值最大，并且重量不超出
要求装入的物品不能重复

动态规划算法介绍

动态规划(Dynamic Programming)算法的核心思想是：将大问题划分为小问题进行解决，从而一步步获取最优解的处理算法。
动态规划算法与分治算法类似，其基本思想也是将待求解问题分解成若干个子问题，先求解子问题，然后从这些子问题的解得到原问题的解。
与分治算法不同的是，适用于动态规划求解的问题，经分解得到子问题往往不是相互独立的。(即下一个子阶段的求解是建立在上一个子阶段的解的基础上，进行进一步的求解)。
动态规划可以通过填表的方式来逐步推进，得到最优解。

背包问题分析

背包问题主要是指一个给定容量的背包、若干具有一定价值和重量的物品，如何选取物品放入背包是物品的价值最大。其中又分01背包和完全背包(完全背包指的是：每种物品都有无限件可用)。

这里的问题属于01背包，即每个物品最多放一个，而无限背包可以转化为01背包。

思路分析

算法的主要思想，利用动态规划来解决。每次遍历到的第i个物品，根据w[i]和v[i]来确定是否需要将该物品放入背包。即对于给定的n个物品，设v[i]、w[i]分别为第i个物品的价值和重量，C为背包的容量。再令v[i][j]表示在前 i 个物品中能够装入容量为 j 的背包的最大值。则有下面的结果：

v[i][0] = v[0][j] = 0;//表示填入表第一行和第一列是0
当w[i]>j时：v[i][j]=v[i-1][j];//当准备加入的新增的商品的容量大于当前背包的容量时，就直接使用上一个单元格的装入策略。
当j>=w[i]时：v[i][j]=max{v[i-1][j],v[i]+v[i-1][j-w[i]]};//当准备加入的新增的商品的容量小于等于当前背包的容量，装入的方式：v[i-1][j]：就是上一个单元格的装入的最大值v[i]：当前商品的价值v[i-1][j-w[i]]：装入i-1商品，到剩余空间[j-w[i]的最大值

填表的过程

代码案例

packagecom.xie.algorithm;
importjava.util.Arrays;
publicclassKnapsackProblem{
publicstaticvoidmain(String[]args){
//物品的重量
int[]w={1,4,3};
//物品的价值
int[]val={1500,3000,2000};
//背包的容量
intm=4;
//物品的个数
intn=val.length;
//为了记录商品放入的情况，定义一个二维数组
int[][]path=newint[n+1][m+1];
//创建二维数组
//v[i][j]表示在前i个物品中能够装入容量为j的背包的最大值
int[][]v=newint[n+1][m+1];
//初始化第一行和第一列
//将第一列设置为0
for(inti=0;i<v.length;i++){
v[i][0]=0;
}
//将第一行设置为0
for(inti=0;i<v[0].length;i++){
v[0][i]=0;
}
//根据前面的公式来动态规划处理
//不处理第一行
for(inti=1;i<v.length;i++){
//不处理第一列
for(intj=1;j<v[0].length;j++){
//公式
//因为我们的程序i是从1开始的，因此原来的公式中的w[i]修改成w[i-1]
if(w[i-1]>j){
v[i][j]=v[i-1][j];
}else{
//因为我们的程序i是从1开始的
//v[i][j]=Math.max(v[i-1][j],val[i-1]+v[i-1][j-w[i-1]]);
if(v[i-1][j]>val[i-1]+v[i-1][j-w[i-1]]){
v[i][j]=v[i-1][j];
}else{
v[i][j]=val[i-1]+v[i-1][j-w[i-1]];
//把当前的情况记录到path
path[i][j]=1;
}
}
}
}
for(inti=0;i<v.length;i++){
System.out.println(Arrays.toString(v[i]));
}
inti=path.length-1;
intj=path[0].length-1;
while(i>0&&j>0){
if(path[i][j]==1){
System.out.printf("第%d个商品放入背包\n",i);
j-=w[i-1];
}
i--;
}
}
/**
*[0,0,0,0,0]
*[0,1500,1500,1500,1500]
*[0,1500,1500,1500,3000]
*[0,1500,1500,2000,3500]
*第3个商品放入背包
*第1个商品放入背包
*/
}